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Universität/Hochschule Gleichmäßige Konvergenz gleichgradig stetiger Funktionen
Bayes2021
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  Themenstart: 2022-08-27

Hallo zusammen, in meinem Skript ist der folgende Satz: $\textbf{Satz}$ $J$ sei ein beschränktes Intervall in $\mathbb{R}$ und $(x_{n})_{n \in\mathbb{N}}$ eine dichte Folge in $J$. $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ sei eine Folge aus $C_{0}(J,\mathbb{R}^{n})$, für die $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ gleichgradig stetig ist und die in den Punkten $x_{n}$ konvergiert. Dann konvergiert die Folge $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ auf $J$ gleichmäßig. Der Beweis dazu lautet wie folgt: $\textbf{Beweis}$ Sei $\varepsilon > 0$ gegeben. Die gleichgradie Stetigkeit der $f_{n}$ liefert eine $\delta=\delta(\varepsilon)$, so dass für alle $x, \tilde{x} \in J$ mit $|x-\tilde{x}|<\delta$ und alle $n \in \mathbb{N}$ die Ungleichung $$||f_{n}(x)-f_{n}(\tilde{x})||<\frac{\varepsilon}{3}$$ gilt. Wir überdecken das Intervall $J$ durch endlich viele Intervalle $J_{1},J_{2},\ldots,J_{r}$, deren Länge kleiner als $\delta$ ist und wählen in jedem Intervall $J_{k}$ einen Punkt $x_{k}$ der in $J$ dichten Folge $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$. Dann gibt es ein $n_{0}=n_{0}(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, so dass für $m,n\geq n_{0}$ die Ungleichungen $$||f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})||<\frac{\varepsilon}{3},\;k=1,2,\ldots=r$$ gelten. Ist dann $x\in J$, so gibt es ein $k_{0}$ mit $x \in J_{k_{0}}$, und wir erhalten für $m,n \geq n_{0}(\varepsilon)$ $$\begin{eqnarray} ||f_{n}(x)-f_{m}(x)|| &\leq ||f_{n}(x)-f_{n}(x_{k_{0}})|| + ||f_{n}(x_{k_{0}}) - f_{m}(x_{k_{0}})|| + ||f_{m}(x_{k_{0}}) - f_{m}(x)|| \\ &<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3} \\ &=\varepsilon \end{eqnarray}$$ womit die Behauptung bewiesen ist. $\Box$ Grundsätzlich verstehe ich das Vorgehen in dem Beweis. Allerdings kann ich nicht nachvollziehen warum $n_{0}=n_{0}(\varepsilon)$ nicht von $x$ bzw. $k$ abhängt. Meine Überlegung dazu ist, dass dies folgt weil wir nur endlich viele Intervalle haben. Nach Voraussetzung konvergiert die Folge $(f_{n}(x_{k}))_{n \in \mathbb{N}}$ für jedes $k \in \mathbb{N}$, also auch für $k \in \{ 1,2,\ldots,r \}$. Somit gibt es zu jedem $k \in \{1,2,\ldots,r\}$ ein $n_{0}(\varepsilon, k)$ mit $$||f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})||<\frac{\varepsilon}{3}$$ für $m,n \geq n_{0}(\varepsilon,k)$. Man wählt nun $n_{0}:=n_{0}(\varepsilon):=max_{k} n_{0}(\varepsilon, k)$ und erhält somit die Ungleichung $$||f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})||<\frac{\varepsilon}{3},\;k=1,2,\ldots=r$$ Ist das die Lösung oder gibt es einen offensichtlicheren Weg? Viele Grüße Bayes2021


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-29

Hey Bayes2021, es ist genau so, wie du es schreibst.


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