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  Konvergente Teilfolge einer Funktionenfolge |
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Bayes2021
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 58
 |  Themenstart: 2022-08-27
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Hallo zusammen,
ich sitze gerade am Beweis des Satzes von Arzelà-Ascoli.
Dieser lautet bei uns wie folgt:
Sei $J$ eine beschränktes Intervall in $\mathbb{R}$ und $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge $\mathbb{R}^{n}$-wertiger Funktionen, für die $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ auf $J$ gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt ist. Dann gibt es eine Teilfolge $(f_{m_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$, die auf $J$ gleichmäßig konvergiert.
Der Beweis dazu startet wie folgt:
Wir wählen eine dichte Folge $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ in $J$ und betrachten die Folge
$$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$
Sie ist nach Voraussetzung beschränkt. Es gibt daher eine Teilfolge $(f_{m}^1)$ von $(f_{m})$, so dass $$f_{1}^{1}(x_{1}), f_{2}^{1}(x_{1}), f_{3}^{1}(x_{1}), \ldots $$
konvergiert.
Die Folge $(f_{m}^{1}(x_{x})_{m \in \mathbb{N}}$ ist wieder beschränkt und es gibt daher eine Teilfolge $f_{m}^{2}$ von $f_{m}^{1}$, für die
$$f_{1}^{2}(x_{2}), f_{2}^{2}(x_{2}),f_{3}^{2}(x_{2}),\ldots$$ konvergiert.
Als Teilfolge von $(f_{m}^{1})$ konverviert die Folge der $(f_{m}^{2})$ auch an der Stelle $x_{1}$.
Nun zu meiner Frage. Warum existiert eine konvergente Teilfolge?
Wenn ich danach suche, wird immer wieder der Satz von Bolzano-Weierstraß genannt, was mich aber zu folgenden Überlegungen bringt.
Auf der einen Seite ist $$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$ welche mit Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge hat. Dies ist aber eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und keine Funktionenfolge.
Auch $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ist nach Voraussetzung beschränkt. Für Bolzano-Weierstraß in nicht endlichen Vektorräumen müsste ich aber erstmal zeigen, dass die Menge $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ kompakt ist, oder nicht?
Viele Grüße
Bayes2021
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-27
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
\quoteon(2022-08-27 16:45 - Bayes2021 im Themenstart)
Auf der einen Seite ist $$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$ welche mit Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge hat. Dies ist aber eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und keine Funktionenfolge.
Auch $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ist nach Voraussetzung beschränkt. Für Bolzano-Weierstraß in nicht endlichen Vektorräumen müsste ich aber erstmal zeigen, dass die Menge $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ kompakt ist, oder nicht?
\quoteoff
Bei dem bisherigen Beweis wird doch aber auch nur gesagt, dass die Folge $(f_m(x_1))_m$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Das ergibt sich aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß, wie du bereits gesagt hast.
Wo liegt dabei nun dein konkretes Problem?
LG Nico\(\endgroup\)
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Bayes2021
Wenig Aktiv
Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 58
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-28
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Hallo Nico,
ich verstehe es so, dass $(f_{m}^{1})$ eine Folge von Funktionen ist.
Die nächsten Schritte im Beweis lauten nämlich wie folgt:
Die Folge $(f_{m}^{1}(x_{x})_{m \in \mathbb{N}}$ ist wieder beschränkt und es gibt daher eine Teilfolge $f_{m}^{2}$ von $f_{m}^{1}$, fur die
$$f_{1}^{2}(x_{2}), f_{2}^{2}(x_{2}),f_{3}^{2}(x_{2}),\ldots$$
konvergiert.
Als Teilfolge von $(f_{m}^{1})$ konverviert die Folge der $(f_{m}^{2})$ auch an der Stelle $x_{1}$.
Sollte $(f_{m}^{1})$ nämlich keine Funktionenfolge sein, so verstehe ich nicht was wie $f_{m}^{1}(x_2)$ zu interpretieren wäre.
Viele Grüße
Bayes2021
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\KO}{\operatorname{KO}}
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\newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}}
\newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\)
Eigentlich wiederhole ich jetzt bloß was Nico bereits gesagt hat (also lohnt es sich auch seinen Beitrag nochmal aufmerksam durchzulesen).
Du hast Recht, dass $(f_m)_m$ (und $(f_m^n)_m$) eine Funktionenfolge ist, das Argument spielt aber bloß in $\R^n$ und nicht im Funktionenraum, da wir die Funktionen an $x_1$ evaluieren - und uns hier nur für diesen Punkt interessieren.
Nach Bolzano-Weierstraß besitzt $f_0(x_1), f_1(x_1), f_2(x_1), \cdots$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(f_{n_i}(x_1))_i$. Dann können wir $f_m^1 = f_{n_m}$ setzen. Analog für $f_m^2$.
P.S.: Wofür lässt du so viele Leerzeilen nach deiner Grußformel? Es ist übersichtlicher für den Thread, wenn du sie weglässt.\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2802
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}\)
Ein weiterer Zusatz:
Beachte die Sprechweise. Es wird nicht gesagt, dass $(f_m)_m$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Vielmehr wird gesagt, dass $(f_m)_m$ eine Teilfolge $(f_m^1)_m$ besitzt, die die Eigenschaft hat, dass die $\mathbb R^n$-wertige Folge $(f_m^1(x_1))_m$ in $\mathbb R^n$ konvergent ist.
Das ist zugegeben etwas unglücklich formuliert.
LG Nico\(\endgroup\)
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Bayes2021
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 19.04.2021
Mitteilungen: 58
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-28
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Ah, ich glaube jetzt verstehe ich es.
$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$ ist eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$, also gibt es eine in $\mathbb{R}^{n}$ konvergente Teilfolge $(f_{m_{k}}(x_{1}))_{k \in \mathbb{N}}$. Anschließend betrachte ich die Teilfolge $(f_{m_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ der Funktionenfolge.
Für diese ist dann $(f_{m_{k}}(x_2))_{k \in \mathbb{N}}$ wieder eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und es geht wieder von vorne los.
Vielen Dank
Bayes2021
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