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Funktionenfolgen und -reihen » Konvergenz » Konvergente Teilfolge einer Funktionenfolge
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Universität/Hochschule J Konvergente Teilfolge einer Funktionenfolge
Bayes2021
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  Themenstart: 2022-08-27

Hallo zusammen, ich sitze gerade am Beweis des Satzes von Arzelà-Ascoli. Dieser lautet bei uns wie folgt: Sei $J$ eine beschränktes Intervall in $\mathbb{R}$ und $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ eine Folge $\mathbb{R}^{n}$-wertiger Funktionen, für die $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ auf $J$ gleichgradig stetig und gleichmäßig beschränkt ist. Dann gibt es eine Teilfolge $(f_{m_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$, die auf $J$ gleichmäßig konvergiert. Der Beweis dazu startet wie folgt: Wir wählen eine dichte Folge $(x_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ in $J$ und betrachten die Folge $$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$ Sie ist nach Voraussetzung beschränkt. Es gibt daher eine Teilfolge $(f_{m}^1)$ von $(f_{m})$, so dass $$f_{1}^{1}(x_{1}), f_{2}^{1}(x_{1}), f_{3}^{1}(x_{1}), \ldots $$ konvergiert. Die Folge $(f_{m}^{1}(x_{x})_{m \in \mathbb{N}}$ ist wieder beschränkt und es gibt daher eine Teilfolge $f_{m}^{2}$ von $f_{m}^{1}$, für die $$f_{1}^{2}(x_{2}), f_{2}^{2}(x_{2}),f_{3}^{2}(x_{2}),\ldots$$ konvergiert. Als Teilfolge von $(f_{m}^{1})$ konverviert die Folge der $(f_{m}^{2})$ auch an der Stelle $x_{1}$. Nun zu meiner Frage. Warum existiert eine konvergente Teilfolge? Wenn ich danach suche, wird immer wieder der Satz von Bolzano-Weierstraß genannt, was mich aber zu folgenden Überlegungen bringt. Auf der einen Seite ist $$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$ welche mit Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge hat. Dies ist aber eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und keine Funktionenfolge. Auch $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ist nach Voraussetzung beschränkt. Für Bolzano-Weierstraß in nicht endlichen Vektorräumen müsste ich aber erstmal zeigen, dass die Menge $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ kompakt ist, oder nicht? Viele Grüße Bayes2021


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-08-27

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) \quoteon(2022-08-27 16:45 - Bayes2021 im Themenstart) Auf der einen Seite ist $$(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$$ eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$ welche mit Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge hat. Dies ist aber eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und keine Funktionenfolge. Auch $(f_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ ist nach Voraussetzung beschränkt. Für Bolzano-Weierstraß in nicht endlichen Vektorräumen müsste ich aber erstmal zeigen, dass die Menge $\{f_{n}:n\in\mathbb{N}\}$ kompakt ist, oder nicht? \quoteoff Bei dem bisherigen Beweis wird doch aber auch nur gesagt, dass die Folge $(f_m(x_1))_m$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Das ergibt sich aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß, wie du bereits gesagt hast. Wo liegt dabei nun dein konkretes Problem? LG Nico\(\endgroup\)


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Bayes2021
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-28

Hallo Nico, ich verstehe es so, dass $(f_{m}^{1})$ eine Folge von Funktionen ist. Die nächsten Schritte im Beweis lauten nämlich wie folgt: Die Folge $(f_{m}^{1}(x_{x})_{m \in \mathbb{N}}$ ist wieder beschränkt und es gibt daher eine Teilfolge $f_{m}^{2}$ von $f_{m}^{1}$, fur die $$f_{1}^{2}(x_{2}), f_{2}^{2}(x_{2}),f_{3}^{2}(x_{2}),\ldots$$ konvergiert. Als Teilfolge von $(f_{m}^{1})$ konverviert die Folge der $(f_{m}^{2})$ auch an der Stelle $x_{1}$. Sollte $(f_{m}^{1})$ nämlich keine Funktionenfolge sein, so verstehe ich nicht was wie $f_{m}^{1}(x_2)$ zu interpretieren wäre. Viele Grüße Bayes2021


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Kezer
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  Beitrag No.3, eingetragen 2022-08-28

\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\C}{\mathscr{C}} \newcommand{\D}{\mathscr{D}} \newcommand{\A}{\mathbb A} \newcommand{\PP}{\mathbb{P}} \newcommand{\LL}{\mathcal{L}} \newcommand{\OO}{\mathcal{O}} \newcommand{\FF}{\mathcal{F}} \newcommand{\variety}{\mathcal{V}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\sep}{\mathrm{sep}} \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\Set}{\mathbf{Set}} \newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}} \newcommand{\GL}{\operatorname{GL}} \newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}} \newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}} \newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}} \newcommand{\Top}{\mathbf{Top}} \newcommand{\map}{\operatorname{map}} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\ol}{\overline} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}} \newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}} \newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}} \newcommand{\conv}{\mathrm{conv}} \newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}} \newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}} \newcommand{\op}{\mathrm{op}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\KO}{\operatorname{KO}} \newcommand{\BO}{\operatorname{BO}} \newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}} \newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\) Eigentlich wiederhole ich jetzt bloß was Nico bereits gesagt hat (also lohnt es sich auch seinen Beitrag nochmal aufmerksam durchzulesen). Du hast Recht, dass $(f_m)_m$ (und $(f_m^n)_m$) eine Funktionenfolge ist, das Argument spielt aber bloß in $\R^n$ und nicht im Funktionenraum, da wir die Funktionen an $x_1$ evaluieren - und uns hier nur für diesen Punkt interessieren. Nach Bolzano-Weierstraß besitzt $f_0(x_1), f_1(x_1), f_2(x_1), \cdots$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(f_{n_i}(x_1))_i$. Dann können wir $f_m^1 = f_{n_m}$ setzen. Analog für $f_m^2$. P.S.: Wofür lässt du so viele Leerzeilen nach deiner Grußformel? Es ist übersichtlicher für den Thread, wenn du sie weglässt.\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-08-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname}\) Ein weiterer Zusatz: Beachte die Sprechweise. Es wird nicht gesagt, dass $(f_m)_m$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Vielmehr wird gesagt, dass $(f_m)_m$ eine Teilfolge $(f_m^1)_m$ besitzt, die die Eigenschaft hat, dass die $\mathbb R^n$-wertige Folge $(f_m^1(x_1))_m$ in $\mathbb R^n$ konvergent ist. Das ist zugegeben etwas unglücklich formuliert. LG Nico\(\endgroup\)


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Bayes2021
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-08-28

Ah, ich glaube jetzt verstehe ich es. $(f_{m}(x_{1}))_{m \in \mathbb{N}}$ ist eine beschränkte Folge in $\mathbb{R}^{n}$, also gibt es eine in $\mathbb{R}^{n}$ konvergente Teilfolge $(f_{m_{k}}(x_{1}))_{k \in \mathbb{N}}$. Anschließend betrachte ich die Teilfolge $(f_{m_{k}})_{k \in \mathbb{N}}$ der Funktionenfolge. Für diese ist dann $(f_{m_{k}}(x_2))_{k \in \mathbb{N}}$ wieder eine Folge in $\mathbb{R}^{n}$ und es geht wieder von vorne los. Vielen Dank Bayes2021


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