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Strukturen und Algebra » Körper und Galois-Theorie » Ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung? Es gibt doch nur einen Körperautomorphismus?
Thema eröffnet 2022-09-23 18:41 von nikofld3
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Autor
Universität/Hochschule Ist das ein Fehler in der Aufgabenstellung? Es gibt doch nur einen Körperautomorphismus?
juergenX
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  Beitrag No.40, eingetragen 2022-09-28

\quoteon(2022-09-28 16:39 - Wally in Beitrag No. 39) Ich meine, wenn dein Beweis zeigt, dass es einen eindeutigen Automorphismus in $ \IQ$ gibt, dann kann man denselben Gedankengang benutzen um zu zeigen, dass es auch nur einen in $ \IC$ gibt, was aber falsch ist. Viele Grüße Wally \quoteoff In meinem Beitrag #38 zeigte ich,das $\displaystyle \tau$, also die komplexe Konjugation ist ein KörperAutomorphismus ist richtig? OK. Ich muesste um in Q zu bleiben was genau tun? Zeigen, dass für jeder andere Köperabbildungsvorschrift in $f:\displaystyle Q \leftrightarrow Q$ folgendes eintritt. Es gilt nicht (1) $\displaystyle f(a+b)=f(a)+(b)$ oder es gilt nicht (2) $\displaystyle f(a*b)=f(a)*f(b)$ oder (3) $\displaystyle f$ ist nicht injektiv oder (4) $\displaystyle f$ ist nicht surjektiv oder (5) $\displaystyle\varphi (0) \ne 0$ oder $\displaystyle\varphi (1) \ne 1$. Wir finden kein $\displaystyle f$, das allen 5 Bedingungen gehorcht und nicht die Identitaet ist. Jedenfalls gäbe es ein oder mehrere a,: die nicht auf sich abgebildet werden, damit ist $f$ keine Identität. In allen KörperAutomorphismus $\displaystyle \mathbb{K} \Leftrightarrow \mathbb{K}$ muss aber (5)gelten. Wenn z.B. f(4/3) = 3/4 ist dann muss auch f(12) = 9 sein. Und $f(12/12) = f(1) = (9/12) = (3/4) \ne 1$. Widerspruch. Wg. der Eigenart von $\displaystyle \mathbb{C}$ funkioniert diese Folgerung dort nicht so einfach.

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nikofld3 hatte hier bereits selbst das Ok-Häkchen gesetzt.
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