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  Hölderstetigkeit von √(x(1-x)) |
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cogitoergoboom
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.10.2012
Mitteilungen: 30
 |  Themenstart: 2022-10-02
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Hallo,
Sei $f(x):=\sqrt{x(1-x)}$ auf $[0,1]$ definiert. Ich versuche seit einiger Zeit zu zeigen, dass folgende Abschätzung bzw. $\frac{1}{2}$-Hölderstetigkeit vorliegt:
Sei $x,y \in [0,1]$, dann existiert eine Konstante $K\in \mathbb{R}$ mit:
$|\sqrt{x(1-x)}-\sqrt{y(1-y)}| \leq K |x-y|^\frac{1}{2}$
Ich habe schon relativ viel versucht, aber noch nicht die richtige Abschätzung gefunden.
Hat jemand vielleicht eine Idee?
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 529
Wohnort: Wien
 | Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-03
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Moin cogitoergoboom,
$K = 1$ funktioniert hier. Um das einzusehen seien $x,y \in [0,1]$ beliebig genannt. Überlege dir, dass man sich direkt oBdA. auf $0 < x < y < 1$ beschränken kann, da die übrigen Fälle klar sind. Sei dann $\xi := 1-x$, dann ist $\xi + y > 1$. Zeige nun mithilfe einer geeigneten Abfolge an Äquivalenzumformungen, dass die gewünschte Ungleichung
\[
\left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right| \le |x-y|^{1/2}
\]
zu
\[
2(\xi + y-1)\left( \frac{\xi + y + 1}{2} - \frac{\sqrt{\xi y}}{\sqrt{\xi y} + \sqrt{(1-\xi)(1-y)}} \right) \ge 0
\]
äquivalent ist und überlege dir, warum die zweite Ungleichung zutreffend ist.
LG,
semasch
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
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Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-03
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Du kannst auch so argumentieren:
\( \sqrt{x(1-x)}=\sqrt{x}\sqrt{1-x}\).
Beweise, dass das Produkt einer \( \alpha\)-Hölderstetigen Funktion mit einer stetig differenzierbaren Funktion wieder \( \alpha\)-Hölderstetig ist.
\( \sqrt{1-x}\) ist bei \( x=0\) stetig differenzierbar. Also ist das Produkt dort \( \frac{1}{2}\)-Hölderstetig, und aus Symmetriegründen gilt das auch bei \( x=1\).
Kannst du daraus einen Beweis zusammenbasteln?
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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cogitoergoboom
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 05.10.2012
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-11
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Danke für eure Hilfe. Ich habe letztlich folgende Abschätzung hergeleitet, wenn 3. Binomische Formel und Produkt mit Wurzeln angewendet wird:
$\left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right|^2 \leq |x(1-x)-y(1-y)|$
Es müsste dann $K:=1$ gelten.
@wally das wäre natürlich eine elegante Weise das zu zeigen, nur sehe ich gerade noch nicht wie. Ich nehme an, es geht über eine "kluge" 0 in $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|$, wenn $f$ bspw. stetig diffbar und $g$ $\alpha$-stetig.
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semasch
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| Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-12
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\quoteon(2022-10-11 23:18 - cogitoergoboom in Beitrag No. 3)
Ich habe letztlich folgende Abschätzung hergeleitet, wenn 3. Binomische Formel und Produkt mit Wurzeln angewendet wird:
$\left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right|^2 \leq |x(1-x)-y(1-y)|$
Es müsste dann $K:=1$ gelten.
\quoteoff
Das ist zwar richtig, reicht aber noch nicht, da
\[
|x(1-x)-y(1-y)| = |x-y-(x^2-y^2)| \\ = |x-y-(x-y)(x+y)| = |x+y-1| |x-y|,
\]
aber
\[
\inf_{0 \le x,y \le 1, \, x \neq y} |x+y-1| = 0.
\]
LG,
semasch
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cogitoergoboom
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 05.10.2012
Mitteilungen: 30
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-12
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Miit dem Mittelwertsatz gilt doch:
$|x(1-x)-y(1-y)|\leq max_{\xi \in(0,1)} |1-2\xi| \cdot |x-y| $
Oder mache ich hier gerade einen groben Fehler? @semasch Vielleicht hätte ich oben noch dazu geben sollen, dass das der nächste Schritt wäre. @wally Ich nehme an, die Aussage über die Produkte gilt auch über nicht beschränkte Intervalle?
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 529
Wohnort: Wien
| Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-12
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Nein, das passt schon so, da hatte ich einen Fehler in meinem Einwand, für die Abschätzung nach oben ist natürlich $\sup_{0 \le x,y \le 1} |x+y-1| = 1 = \sup_{0 \le \xi \le 1} |1-2\xi|$ und nicht $\inf_{0 \le x,y \le 1} |x+y-1| = 0$ zu verwenden, was dann auf dasselbe wie bei dir hinausläuft. Also ja, deine Argumentation funktioniert schon so.
LG,
semasch
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cogitoergoboom hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
cogitoergoboom hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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