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Analysis » Stetigkeit » Hölderstetigkeit von √(x(1-x))
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Universität/Hochschule J Hölderstetigkeit von √(x(1-x))
cogitoergoboom
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  Themenstart: 2022-10-02

Hallo, Sei $f(x):=\sqrt{x(1-x)}$ auf $[0,1]$ definiert. Ich versuche seit einiger Zeit zu zeigen, dass folgende Abschätzung bzw. $\frac{1}{2}$-Hölderstetigkeit vorliegt: Sei $x,y \in [0,1]$, dann existiert eine Konstante $K\in \mathbb{R}$ mit: $|\sqrt{x(1-x)}-\sqrt{y(1-y)}| \leq K |x-y|^\frac{1}{2}$ Ich habe schon relativ viel versucht, aber noch nicht die richtige Abschätzung gefunden. Hat jemand vielleicht eine Idee?


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semasch
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-03

Moin cogitoergoboom, $K = 1$ funktioniert hier. Um das einzusehen seien $x,y \in [0,1]$ beliebig genannt. Überlege dir, dass man sich direkt oBdA. auf $0 < x < y < 1$ beschränken kann, da die übrigen Fälle klar sind. Sei dann $\xi := 1-x$, dann ist $\xi + y > 1$. Zeige nun mithilfe einer geeigneten Abfolge an Äquivalenzumformungen, dass die gewünschte Ungleichung \[ \left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right| \le |x-y|^{1/2} \] zu \[ 2(\xi + y-1)\left( \frac{\xi + y + 1}{2} - \frac{\sqrt{\xi y}}{\sqrt{\xi y} + \sqrt{(1-\xi)(1-y)}} \right) \ge 0 \] äquivalent ist und überlege dir, warum die zweite Ungleichung zutreffend ist. LG, semasch


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Wally
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  Beitrag No.2, eingetragen 2022-10-03

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Du kannst auch so argumentieren: \( \sqrt{x(1-x)}=\sqrt{x}\sqrt{1-x}\). Beweise, dass das Produkt einer \( \alpha\)-Hölderstetigen Funktion mit einer stetig differenzierbaren Funktion wieder \( \alpha\)-Hölderstetig ist. \( \sqrt{1-x}\) ist bei \( x=0\) stetig differenzierbar. Also ist das Produkt dort \( \frac{1}{2}\)-Hölderstetig, und aus Symmetriegründen gilt das auch bei \( x=1\). Kannst du daraus einen Beweis zusammenbasteln? Viele Grüße Wally \(\endgroup\)


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cogitoergoboom
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-11

Danke für eure Hilfe. Ich habe letztlich folgende Abschätzung hergeleitet, wenn 3. Binomische Formel und Produkt mit Wurzeln angewendet wird: $\left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right|^2 \leq |x(1-x)-y(1-y)|$ Es müsste dann $K:=1$ gelten. @wally das wäre natürlich eine elegante Weise das zu zeigen, nur sehe ich gerade noch nicht wie. Ich nehme an, es geht über eine "kluge" 0 in $|f(x)g(x)-f(y)g(y)|$, wenn $f$ bspw. stetig diffbar und $g$ $\alpha$-stetig.


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semasch
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  Beitrag No.4, eingetragen 2022-10-12

\quoteon(2022-10-11 23:18 - cogitoergoboom in Beitrag No. 3) Ich habe letztlich folgende Abschätzung hergeleitet, wenn 3. Binomische Formel und Produkt mit Wurzeln angewendet wird: $\left| \sqrt{x(1-x)} - \sqrt{y(1-y)} \right|^2 \leq |x(1-x)-y(1-y)|$ Es müsste dann $K:=1$ gelten. \quoteoff Das ist zwar richtig, reicht aber noch nicht, da \[ |x(1-x)-y(1-y)| = |x-y-(x^2-y^2)| \\ = |x-y-(x-y)(x+y)| = |x+y-1| |x-y|, \] aber \[ \inf_{0 \le x,y \le 1, \, x \neq y} |x+y-1| = 0. \] LG, semasch


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cogitoergoboom
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  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2022-10-12

Miit dem Mittelwertsatz gilt doch: $|x(1-x)-y(1-y)|\leq max_{\xi \in(0,1)} |1-2\xi| \cdot |x-y| $ Oder mache ich hier gerade einen groben Fehler? @semasch Vielleicht hätte ich oben noch dazu geben sollen, dass das der nächste Schritt wäre. @wally Ich nehme an, die Aussage über die Produkte gilt auch über nicht beschränkte Intervalle?


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semasch
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  Beitrag No.6, eingetragen 2022-10-12

Nein, das passt schon so, da hatte ich einen Fehler in meinem Einwand, für die Abschätzung nach oben ist natürlich $\sup_{0 \le x,y \le 1} |x+y-1| = 1 = \sup_{0 \le \xi \le 1} |1-2\xi|$ und nicht $\inf_{0 \le x,y \le 1} |x+y-1| = 0$ zu verwenden, was dann auf dasselbe wie bei dir hinausläuft. Also ja, deine Argumentation funktioniert schon so. LG, semasch


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