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Mathematik » Analysis » Direkte Methode Variationsrechnung
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Universität/Hochschule J Direkte Methode Variationsrechnung
LamyOriginal
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  Themenstart: 2022-10-03

Hallo, Situation: $\Omega\subset\mathbb{R^n}$ offen und beschränkt, $X=H^1_0(\Omega)$ Hilbertraum, gegeben ist das Funktional $$A:X\to\mathbb{R}, A(u)=\int_{\Omega}|\nabla u|^2.$$ Im Buch steht, dass $A$ alle vier Bedingungen der direkten Methode erfüllt. Nun wollte ich diese überprüfen und komme nicht weiter... Zunächst: $\textbf{direkte Methode:}$ Sei $X$ Banachraum, $A:x\to\mathbb{R}\cup\infty$ ein Funktional nicht identisch $\infty$. Bedingungen: 1) $A$ ist nach unten beschränkt 2) für $c_1, c_2, p>0$ gilt $||u||^p_{X}\leq c_1+c_2 A(u)\forall v\in X$ 3) $X$ ist reflexiv 4) A ist schwach unterhalbstetig. Dazu: 1) gilt wegen $A(u)=\int_{\Omega}|\nabla u|^2\geq 0$ 2) da $\Omega$ beschränkt n.V. liefert Poincare: $$||u||^2_{X}\leq C_p||\nabla u||^2_{L^2}=C_p A(u)$$ 3) $X=H^1_0(\Omega)$ ist als Hibertraum reflexiv 4) ist mein Problem... entweder kann ich zeigen, dass $A$ stark (unterhalb-)stetig und konvex ist oder meine Idee wäre das Lemma von Fatou, da $f(u):=|\nabla u|^2$ nicht-negativ und wegen $u\in H^1_0(\Omega)$ messbar ist. Sei also $u_k\rightharpoonup u$ in $H^1_0(\Omega)$, wegen der kompakten Einbettung nach Rellich gilt für eine Teilfolge (o.E. nenne ich sie wieder $u_k$, um Indizes zu vermeiden) $u_k\to u$ in $L^2(\Omega)$ und für eine weitere Teilfolge (wieder o.E.) $u_k\to u$ punktweise fast überall. Wenn ich diese Teilfolgenteilfolge als $u=lim_kA(u_k)=lim_kinf A(u_k)$ fixiere, liefert mir das Lemma von Fatou $$A(u)=\int_{\Omega}f(lim_kinf u_k)\leq lim_kinf A(u_k).$$ ODER: Wegen der punktweisen Konvergenz für die Teilfolgenteilfolge erhalte ich $$f(u_k)=|\nabla(u_k)|^2\to|\nabla(u)|^2=f(u).$$ Wegen der $L^2-$ Kovergenz von $\nabla u_k$ gegen $u$ (insbesondere auch $L^1-$Konvergenz, da $\Omega$ beschränkt), kann ich doch eine $L^1-$ Majorante von $f(u)=|\nabla u|^2$ finden und erhalte die Konvergenz der Integrale (also $A(u)$) nach dem Lebesgue-Konvergenzsatz, oder nicht? Dann habe ich die starke Unterhalbstetigkeit von $A$ und benötige noch die Konvexität... Danke für jede Hilfe!


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Kampfpudel
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  Beitrag No.1, eingetragen 2022-10-04

Hallo LamyOriginal, aus der punktweisen Konvergenz \(u_k \to u\) folgt nicht die punktweise Konvergenz \(\nabla u_k \to \nabla u\). Allerdings ist wegen \(u_k \rightharpoonup u\) in \(X\) auch \(\nabla u_k \rightharpoonup \nabla u_k\) in \(L^2(\Omega)^n\). Jetzt ist aber \(A(u) = \Vert \nabla u \Vert_{L^2(\Omega)^n}^2\) und Normen sind als Folge von Hahn-Banach stets schwach unterhalbstetig


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